とらえどころのない「アインシュタイン」が長年の数学の問題を解決

そしてそれはすべて、趣味で「形をいじったり実験したりする」ことから始まりました。

「非周期モノタイル」またはアインシュタインは、無限の平面を非反復パターンでタイル状に並べた形状です。 新しい論文の著者らは、アインシュタインを中折れ帽に似ていることから「帽子」と呼んだ。クレジット...クレイグ・カプラン

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シボーン・ロバーツ著

昨年 11 月、10 年間の試みの失敗を経て、イギリス、イーストヨークシャーのブリドリントンに住む自称形状愛好家、デビッド スミスは、タイル張りの数学における未解決の問題をついに解決できたのではないかと疑った。 「アインシュタイン」を発見した。

それほど詩的ではない用語で言えば、アインシュタインは「非周期的なモノタイル」、つまり平面、または無限の 2 次元の平面をタイル状に並べた形状ですが、非反復パターンに限ります。 (「アインシュタイン」という用語は、ドイツ語の「アイン シュタイン」または「1 つの石」から来ています。より大雑把に言えば、「1 つのタイル」または「1 つの形状」です。) 典型的な壁紙やタイル張りの床は、周期的に繰り返される無限のパターンの一部です。 ; シフトまたは「移動」すると、パターンをそれ自体に正確に重ねることができます。 非周期的なタイリングはそのような「並進対称性」を示さず、数学者は長い間、そのような方法で平面をタイリングできる単一の形状を探してきました。 これはアインシュタイン問題として知られています。

「私はいつも形をいじったり実験したりしているんです」と、印刷技術者などとして働き、早期退職した64歳のス​​ミス氏は語った。 高校時代は数学が好きだったが、得意ではなかったという。 しかし、彼は長い間アインシュタイン問題に「執拗に興味をそそられていた」。

そして今回、スミス氏と数学および計算の専門知識を持つ3人の共著者による新しい論文が、スミス氏の発見が真実であることを証明した。 研究者らは、アインシュタインがフェドーラ帽に似ていることから「帽子」と呼んだ。 （スミス氏はよく頭にバンダナを巻いている。）この論文はまだ査読されていない。

「これは驚くべき発見のようです！」 ニューヨーク・タイムズ紙が提供した論文の初期コピーを読んだデューク大学の物理学者ジョシュア・ソコラー氏は電子メールで述べた。 「私にとって最も重要な点は、このタイルが私たちが理解しているよく知られた構造のどのクラスにも明確に分類されないということです。」

「数学的な結果は、いくつかの興味深い物理学的疑問を引き起こします」と彼は付け加えた。 「この種の内部構造を持つ材料に遭遇したり、それを製造したりすることは想像できるでしょう。」 ソコラー博士とタスマニア州バーニーの独立研究者ジョアン・テイラーは以前、切り離された部分から作られた六角形のモノタイルを発見したが、これは法則を拡張するものだと言う人もいる。 (彼らはまた、Socolar-Taylor タイルの接続された 3D バージョンも発見しました。)

当初、数学的なタイリングの追求は、「平面を非周期的にのみタイリングできる形状のセットはあるのか?」という広範な疑問によって動機付けられていました。 1961 年、数学者のハオ・ワンはそのような集合は不可能であると推測しましたが、彼の生徒であるロバート・バーガーはすぐにその推測が間違っていることを証明しました。 バーガー博士は、20,426 個のタイルの非周期的なセットを発見し、その後、104 個のタイルのセットを発見しました。

その後、ゲームは次のようになりました。タイルが何枚あれば効果があるでしょうか? 1970年代、ブラックホールの研究で2020年のノーベル物理学賞を受賞したオックスフォード大学の数理物理学者ロジャー・ペンローズ卿は、その数を2つにまで減らした。

その後、他の人は 2 つのタイルの形状を思いつきました。 「私も自分のものを一組か二組持っています」と、論文のもう一人の著者でアーカンソー大学教授のチャイム・グッドマン・ストラウス氏は語った。彼はニューヨークの国立数学博物館のアウトリーチ数学者の肩書も持っている。

同氏は、黒と白の正方形でも、おなじみの周期的な市松模様に加えて、奇妙な非周期的なパターンを作ることができると指摘しました。 「奇妙で興味深いパターンを作ることができるのは、本当に簡単なことです」と彼は言いました。 2 つのペンローズ タイルの魔法は、非周期的なパターンのみを作成できることです。それができることのすべてです。

「しかし、聖杯は 1 枚、つまり 1 枚のタイルで済みますか?」 グッドマン・ストラウス博士は言いました。

つい数年前まで、ロジャー卿はアインシュタインを追跡していましたが、その探索を脇に置きました。 「その数は 2 まで減りましたが、今では 1 に減りました!」 彼は帽子についてこう言った。 「これは最高の出来だ。信じられない理由はない。」

この論文には 2 つの証拠が記載されており、どちらも共著者で英国ケンブリッジのソフトウェア開発者であるジョセフ・マイヤーズによって実行されました。 1 つは、以前の方法に基づく従来の証明にカスタム コードを加えたものでした。 別の研究者は、マイヤーズ博士が考案した、コンピューター支援ではない新しい技術を導入しました。

ロジャー卿は、証明が「非常に複雑」であると感じた。 それにもかかわらず、彼はアインシュタインに「非常に興味をそそられた」と述べ、「それは本当に良い形で、驚くほどシンプルだ」と語った。

シンプルさが素直に伝わってきました。 スミス氏の調査はほとんど手作業で行われた。 彼の共著者の一人は、彼を「想像力豊かないじくり回し者」と評しました。

まず、オランダのデルフトに住むタイル愛好家でパズル理論家の Jaap Scherphis が開発したソフトウェアである PolyForm Puzzle Solver を使ってコンピュータ画面を「いじって」みました。 しかし、形状に可能性がある場合、スミス氏はシルエット切断機を使用してカードストックから 32 枚の最初のバッチを作成しました。 次に、必要に応じてタイルを反射したり回転させたりしながら、ジグソーパズルのように、隙間や重なりがないようにタイルを合わせます。

「実際に体験するのはいつでも素晴らしいことです」とスミス氏は語った。 「これは非常に瞑想的になる可能性があります。また、形状がどのようにテッセレーションされるのか、またはテッセレーションされないのかについての理解を深めることができます。」

11月に、反復パターンのない平面を埋め尽くしているように見えるタイルを見つけたとき、彼は共著者でウォータールー大学のコンピューター科学者であるクレイグ・カプランに電子メールを送った。

「この形状は、いわゆる『アインシュタイン問題』の答えになる可能性があります。それは問題ではないでしょうか?」 スミス氏はこう書いた。

「この形状で何か異常なことが起こっていることは明らかだった」とカプラン博士は語った。 以前の研究に基づいて構築された計算的アプローチを採用した彼のアルゴリズムは、ますます大きなハット タイルの帯を生成しました。 「ソフトウェアが構築できるタイルの塊の大きさには制限がないようだった」と彼は言う。

この生データを使用して、スミス氏とカプラン博士はタイルの階層構造を目視で研究しました。 カプラン博士は、伝統的な非周期性の証明を可能にする明らかな動作を検出し、解明しました。この方法は、数学者が「非周期タイルの候補セットがあるときはいつでも引き出しから取り出す方法です」と彼は言いました。

カプラン博士によると、最初のステップは、「1、2、または 4 つの帽子の小さなグループに代わる 4 つの『メタタイル』という単純な形状のセットを定義する」ことだった。 メタタイルは、同様に動作する 4 つの大きな形状に集合します。 このアセンブリは、メタタイルからスーパータイル、そしてスーパースーパータイルに至るまで、無限に「帽子のコピーでますます大きな数学的「フロア」」をカバーしていたとカプラン博士は述べた。 「その後、この種の階層アセンブリが基本的に平面を帽子でタイル化する唯一の方法であることを示します。これは、航空機が定期的にタイル化できないことを示すのに十分であることが判明しました。」

マサチューセッツ州レキシントンの元電気技師、バーガー博士はインタビューで「これは非常に賢いものだ」と語った。 うるさいと思われる危険を承知で、彼は、帽子のタイルは反射を使用しているため、つまり帽子の形をしたタイルとその鏡像であるため、これが 1 つのタイルではなく 2 つのタイルの非周期的なモノタイルのセットではないかと疑問に思う人もいるかもしれないと指摘しました。

グッドマン・ストラウス博士は、タイル張りのリストサーバーでこの微妙な問題を提起しました。「帽子は 1 つですか、それとも 2 つありますか?」 コンセンサスは、モノタイルはその反射を使用した場合でもモノタイルとしてカウントされるということでした。 それは未解決の疑問を残している、とバーガー博士は言った：反省することなく仕事をするアインシュタインは存在するのか？

カプラン博士は、「帽子」は新しい幾何学的な発明ではないと明言しました。 それはポリカイトであり、8 つの凧で構成されています。 (六角形を取り、各辺の中心と反対側の中心を結ぶ 3 本の線を描きます。結果として得られる 6 つの形は凧です。)

「おそらく他の人が過去にこの帽子の形を検討した可能性がありますが、そのタイルの特性を調査するという文脈ではなかったというだけです」とカプラン博士は述べた。 「それは目に見えるところに隠れていたと思いたいのですが。」

スミス大学の数学者マージョリー・セネシャル氏は、「ある意味、それはずっとそこに座って、誰かが見つけてくれるのを待っていたのだ」と語った。 セネシャル博士の研究は、数学的結晶学の隣接領域と準結晶との関係を探求しています。

「最も衝撃を受けたのは、この非周期的なタイルが六角形のグリッド上に配置されていることです。これは、考えられる限りの周期性を持っています」と、モラヴィア大学の数学者ドリス・シャッツシュナイダー氏は語った。周期的なタイル、特にオランダの芸術家 MC エッシャーによるもの。

セネシャル博士も同意した。 「それはちょうど六角形の中に座っています」と彼女は言いました。 「なぜ私はこれを見なかったのかと疑問に思う人が世界中でどれだけいるでしょうか？」

信じられないことに、スミス氏は後に2人目のアインシュタインを発見した。 カプラン博士はそれを「カメ」と呼んだ。これは8つの凧ではなく10の凧でできたポリ凧だ。それは「不気味だった」とカプラン博士は語った。 彼はパニックに陥ったことを思い出した。 彼はすでに「首が深くまで」入っていた。

しかし、同様の計算を行ったマイヤーズ博士は、帽子とカメの間に深いつながりがあることをすぐに発見しました。 そして彼は、実際には、関連するアインシュタインのファミリー全体が存在すること、つまり、次々に変形する連続した数え切れないほどの無限の形状が存在することを認識しました。

スミス氏は、他の家族の何人かにはあまり感銘を受けなかった。 「彼らは少し詐欺師かミュータントのように見えました」と彼は言う。

しかし、このアインシュタイン族は 2 番目の証明を動機付け、非周期性を証明するための新しいツールを提供します。 マイヤーズ博士は電子メールで、この計算は「本当であるには良すぎる」と思われたと述べた。 「非周期性を証明するのにこれほど異なるアプローチがあるとは予想していませんでしたが、詳細を書き上げていくうちにすべてがうまくいくように思えました。」

グッドマン・ストラウス博士は、この新しい技術が発見の重要な側面であると考えています。 現在までに、非周期性の証明はほんのわずかしかありませんでした。 おそらく筋金入りの愛好家だけが好む「強いチーズ」であることを彼は認めた。 処理には数日かかりました。 「そのとき私は雷に打たれた」と彼は言った。

スミス氏は、研究論文がまとまったのを見て驚いた。 「正直言って、私は何の役にも立ちませんでした。」 彼はイラストを高く評価し、「私はどちらかというと絵が好きなほうです」と語った。

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